Геометрия на плоскости · 8–9 класс
Площадь по клеточкам: считаем точки, а не квадратики
Площадь фигуры — не считая ни одной клетки
Площадь многоугольника, у которого все вершины стоят в узлах клетчатой сетки, считается по формуле Пика: S = В + Г/2 − 1, где В — узлы строго внутри, Г — узлы на границе. Клетки считать не нужно, только точки.
Как это делать
- Отметьте узлы на границе Это все узлы сетки, через которые проходит контур, включая вершины. Их количество — Г.
- Сосчитайте узлы внутри Строго внутри, не касаясь контура. Их количество — В.
- Подставьте в формулу S = В + Г/2 − 1. Ответ сразу в клетках.
Почему это работает
Каждый внутренний узел «владеет» одной клеткой площади, каждый граничный — половиной, а единица вычитается за угол обхода: сумма внешних углов любого простого многоугольника равна полному обороту. Формула не приближённая — она точная для любой фигуры с вершинами в узлах.
Где ломается
Все вершины обязаны стоять в узлах сетки: если хоть одна вершина попала в середину клетки, формула даёт неверный ответ. Многоугольник должен быть простым — без самопересечений. Для фигуры с дыркой формула требует поправки, а для кругов и дуг не работает вовсе: у окружности нет вершин в узлах.
Забывают, что узлы в вершинах фигуры относятся к границе, а не к внутренним. Из-за этого В завышают, а ответ уезжает ровно на количество вершин, делённое пополам.