ОГЭ · вторая часть · 9 класс
Задание 21 ОГЭ по математике: текстовая задача на составление уравнения
Что это за задание
Задание 21 — второе из шести заданий второй части. По спецификации ФИПИ оно проверяет умение решать задачи разных типов: составлять по условию выражения, уравнения, неравенства и системы — и исследовать полученное решение. Уровень сложности повышенный, максимум 2 балла, решение записывается полностью и проверяется экспертом.
Разработчики закладывают, что задание 21 выполняют 15–30% участников. Если оно не выходит с первого раза — это не «я не тяну математику», это ровно та трудность, на которую задача и рассчитана.
Данные — из спецификации и демонстрационного варианта ОГЭ по математике 2026 года (ФИПИ, утверждены 10 ноября 2025 года; изменений по сравнению с 2025 годом нет). Демоверсия 2027 года на момент публикации ещё не опубликована — когда она выйдет, страницу обновим. Первоисточник — раздел демоверсий на сайте ФИПИ.
Главное про баллы: уравнение уже стоит балла
В критериях проверки задания 21 один балл ставится за то, что верно составлена математическая модель задачи, даже если решение не доведено до конца или в вычислениях есть погрешность. Два балла — за верный ход и верный ответ.
Отсюда практический вывод, который стоит запомнить перед экзаменом: если задача не идёт — всё равно доведите условие до уравнения и запишите его. Пустое место в бланке — это ноль. Записанная и обоснованная система — это балл, даже если дальше вы застряли в арифметике.
Как разбирать: три шага
- Назовите неизвестное словами, а потом буквой Не «пусть x», а «пусть x — скорость велосипедиста на пути туда, км/ч». Половина ошибок рождается там, где ученик забыл, что именно он обозначил.
- Разложите все величины в таблицу Для движения — скорость, время, расстояние. Для работы — производительность, время, объём. Для растворов — масса раствора, доля вещества, масса вещества. Заполняйте по строкам «было» и «стало».
- Найдите в условии фразу, которая связывает строки «на 30 минут дольше», «на 18 дней быстрее», «получится 40%» — это и есть знак равенства вашего уравнения.
Сюжет первый: движение
Задача. Велосипедист проехал 45 км до посёлка, а обратно возвращался со скоростью на 3 км/ч меньше и потратил на обратный путь на полчаса больше. Найдите скорость велосипедиста на пути туда.
Показать решение
Пусть x км/ч — скорость на пути туда. Тогда обратно скорость x − 3 км/ч. Время туда 45/x часов, обратно 45/(x − 3) часов. Обратный путь на полчаса дольше:
45/(x − 3) − 45/x = 0,5
Умножаем на 2x(x − 3): 90x − 90(x − 3) = x(x − 3), то есть 270 = x² − 3x, откуда x² − 3x − 270 = 0.
Дискриминант 9 + 1080 = 1089 = 33². Корни: x = 18 и x = −15. Скорость отрицательной не бывает — второй корень отбрасываем. Это и есть то самое «исследовать полученное решение» из требований.
Проверка: 45 : 18 = 2,5 часа туда, 45 : 15 = 3 часа обратно, разница ровно полчаса. Ответ: 18 км/ч.
Сюжет второй: совместная работа
Задача. Мастер и ученик, работая вместе, выполняют заказ за 12 дней. Мастер, работая один, справится с заказом на 18 дней быстрее, чем ученик. За сколько дней выполнит заказ мастер?
Показать решение
Весь заказ принимаем за единицу. Пусть x дней — время мастера, тогда ученику нужно x + 18 дней. За день мастер делает 1/x заказа, ученик 1/(x + 18), вместе 1/12:
1/x + 1/(x + 18) = 1/12
Приводим к общему знаменателю: 12(x + 18) + 12x = x(x + 18), то есть 24x + 216 = x² + 18x, откуда x² − 6x − 216 = 0.
Дискриминант 36 + 864 = 900 = 30². Корни: x = 18 и x = −12. Отрицательный отбрасываем.
Проверка: мастер 18 дней, ученик 36 дней; 1/18 + 1/36 = 3/36 = 1/12 — вместе ровно 12 дней. Ответ: 18 дней.
Сюжет третий: растворы и проценты
Задача. Имеются два раствора кислоты разной концентрации: 8 кг и 12 кг. Если слить их вместе, получится раствор, содержащий 40% кислоты. Если слить равные массы этих растворов, получится раствор с 45% кислоты. Сколько процентов кислоты в первом растворе?
Показать решение
Пусть в первом растворе a% кислоты, во втором b%. Считаем не проценты, а килограммы кислоты — это главный приём всех задач на смеси.
Слили всё: кислоты (8a + 12b)/100 кг в 20 кг раствора, и это 40%: 8a + 12b = 800, то есть 2a + 3b = 200.
Слили поровну: при равных массах доли просто усредняются, (a + b)/2 = 45, то есть a + b = 90.
Из второго уравнения b = 90 − a. Подставляем: 2a + 270 − 3a = 200, откуда a = 70 и b = 20.
Проверка: (8 · 70 + 12 · 20) : 20 = 800 : 20 = 40% и (70 + 20) : 2 = 45%. Ответ: 70%.
Где чаще всего теряют баллы
Отвечают не на тот вопрос. Нашли x и остановились, а спрашивали про скорость обратного пути или про второй раствор. Возьмите за правило подчёркивать вопрос в условии и возвращаться к нему после вычислений.
Не отбрасывают посторонний корень. Квадратное уравнение почти всегда даёт два корня, и один из них не подходит по смыслу: отрицательная скорость, отрицательное время. Требование «исследовать полученное решение» — ровно про это, и эксперт это смотрит.
Смешивают проценты вместо килограммов. В задачах на растворы складывать проценты напрямую можно только при равных массах. Во всех остальных случаях считают массу вещества — как в разборе выше. Тот же капкан разобран на странице про две скидки подряд.
Бросают на середине. Возвращаясь к критериям: доведённая до уравнения задача — это балл, а брошенная — ноль.